TAM SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ

Kural: Tam sayılarla çarpma işlemi yaparken sayıların mutlak değerleri çarpılır. Aynı işaretli iki tam sayının çarpımı pozitif, ters işaretli iki tam sayının çarpımı negatiftir.[SPOT 1]

ÖRNEK: Aşağıdaki işlemlerde çarpılan sayılar aynı işaretli olduğu için cevap pozitiftir.

(+5) . (+3) = + 15

(− 2) . (− 4) = + 8

3 . 7 = 21

ÖRNEK: Aşağıdaki işlemlerde çarpılan sayılar ters işaretli olduğu için cevap negatiftir.

(− 6) . (+5) = − 30

8 . (− 2) = − 16

−3 . 3 = − 9

ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

ÇARPMA İŞLEMİNİN DEĞİŞME ÖZELLİĞİ

Çarpılan sayıların yeri değişse de işlemin sonucu değişmediği için tam sayılarda çarpma işleminin değişme özelliği vardır.[SPOT 2]

5 . 3 = 3 . 5

(− 7) . 8 = 8 . (− 7)

BİRLEŞME ÖZELLİĞİ

Üç veya daha fazla tam sayı ile çarpma işlemi yaparken, çarpılan sayılardan herhangi iki tanesini parantezleyerek önce işleme almak sonucu değiştirmediği için Tam Sayılarda Çarpma İşleminin Birleşme Özelliği vardır.[SPOT 3]

1.2.3 işleminde;

(1.2).3 şeklinde önce 1 ile 2’yi çarpıp, sonra çıkan sonucu 3 ile çarpmak,

1.(2.3) şeklinde önce 2 ile 3’ü çarpıp, sonra çıkan sonucu 1 ile çarpmak ile aynıdır.

ÇARPMA İŞLEMİNİN TOPLAMA VE ÇIKARMA ÜZERİNE DAĞILMA ÖZELLİĞİ

Çarpma işlemini toplama ve çıkarma işlemi üzerine dağıtabiliriz.

− 5 . ( 100 + 2 ) işleminde parantez dışındaki çarpan olan −5’i içerideki sayılarla sırayla çarparız. Daha sonra içerideki işlem toplama olduğu için çıkan sonuçları toplarız.

− 5 . ( 100 + 2 )

= (− 5 . 100) + (−5 . 2)

= (− 500) + (−10)

= − 510

Burada çarpma işleminin toplama üzerine dağılma özelliğini gördük.

Eğer içerideki işlem çıkarma işlemi olsaydı çıkarma üzerine dağılma olacaktı. Dağılma özelliği zihinden işlem yapmamızı çok kolaylaştırır. Örnek verecek olursak:

7 . 98 işlemini ele alalım. 98’in 100’den iki eksik olduğunu biliyoruz.

7 . ( 100 − 2) şimdi çarpmayı çıkarma üzerine dağıtalım.

= 7 . 100 − 7 . 2

= 700 − 14

= 686 cevabını buluruz.

ÇARPMA İŞLEMİNİN ETKİSİZ ELEMANI (BİRİM ELEMAN)

İşleme girdiğinde sonucu değiştirmeyen sayıya etkisiz eleman denir.

Çarpma işleminde bir sayıyı 1 (bir) ile çarptığımızda sonuç çarpılan sayı olur.

Bu yüzden çarpma işleminin etkisiz (birim) elemanı 1’dir.[SPOT 4]

− 23 . 1 = − 23

458 . 1 = 458

ÇARPMA İŞLEMİNİN YUTAN ELEMANI

Hangi sayıyla işleme girerse girsin sonuç kendisi olan sayıya yutan eleman denir.

Çarpma işleminde her sayının 0 (sıfır) ile çarpımı sıfıra eşittir.

Bu yüzden çarpma işleminin yutan elemanı 0’dır.[SPOT 5]

− 45 . 0 = 0

985 . 0 = 0

TAM SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ

Kural: Tam sayılarla bölme işlemi yapılırken sayıların mutlak değerleri birbirine bölünür. Aynı işaretli iki tam sayının bölümü pozitif, ters işaretli iki tam sayının bölümü negatiftir.[SPOT 6]

ÖRNEK: Aşağıdaki işlemlerde bölünen sayılar aynı işaretli olduğu için cevap pozitiftir.

(+15) : (+3) = + 5

(− 12) : (− 4) = + 3

21 : 7 = 3

ÖRNEK: Aşağıdaki işlemlerde bölünen sayılar ters işaretli olduğu için cevap negatiftir.

(− 16) : (+4) = − 4

8 : (− 2) = − 4

−3 : 3 = − 1

NOT: Sıfırdan farklı bir tam sayı −1 ile çarpıldığında veya −1’e bölündüğünde işareti değişir.[SPOT 7]

ÖRNEK: −1’in çarpmadaki ve bölmedeki etkisini inceleyelim.

45 . −1 = −45

12 : −1 = −12

−5 . −1 = + 5

−3 : −1 = +3

İŞLEM ÖNCELİĞİ

İşlem yaparken hangi işlemi önce yapacağımızı aşağıdaki sıraya göre belirleriz:

√ Önce üs alma işlemi yapılır

√ Sonra parantez içindeki işlemler yapılır

√ Daha sonra ÇARPMA veya BÖLME işlemi yapılır

√ Son olarak TOPLAMA veya ÇIKARMA işlemi yapılır

√ Birbirine göre önceliği olmayan işlemlerde ( Çarpma ve bölmenin, toplama ve çıkarmanın birbirine göre üstünlüğü yoktur) işlem sırası soldan sağa doğru takip edilir.[SPOT 8]

TAM SAYILARIN KUVVETİ

a tam sayısını n kere kendisi ile çarpma işlemi: a.a.a.a….a.a.a = aⁿ şeklinde gösterilir.

aⁿ sayısı a’nın n. kuvveti veya a üssü n olarak okunur. (Burada a’ya taban, n’ye üs veya kuvvet denir)

Bir sayının kendisi ile tekrarlı çarpımına o sayının kuvveti diyoruz. Bir sayıyı tekrarlı çarparak bu işlemin sonucunu bulmaya ise kuvvet alma diyoruz.

ÖRNEK:

5.5.5=5³

(3 tane 5’in yan yana çarpılması, 5 üssü 3 veya 5’in 3. kuvveti diye okunur.)

(−7).(−7).(−7).(−7)=(−7)⁴

(4 tane −7’nin tekrarlı çarpımı, −7 üssü 4 veya −7’nin 4. kuvveti diye okunur.)

NOT: Bir sayının 2. kuvvetine o sayının karesi, 3. kuvvetine ise o sayının küpü denir.

ÖRNEK: 2³ sayısını “2’nin küpü” olarak okuyabiliriz. 3² sayısını da “3’ün karesi” olarak okuyabiliriz.

POZİTİF SAYILARIN KUVVETLERİ

Pozitif bir sayının bütün kuvvetleri pozitiftir.

 = 49

 = 81

SIFIRIN POZİTİF KUVVETLERİ

Sıfırın pozitif kuvvetleri 0’a eşittir.

=0

1’İN KUVVETLERİ

1’in bütün kuvvetleri 1’dir.

= 1

NEGATİF SAYILARIN KUVVETLERİ

Negatif bir sayının çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.

(−2)² = (−2).(−2) = + 4 (üssü çift sayı olduğu için cevap pozitiftir)

(−2)³ = (−2).(−2).(−2) = −8 (üssü tek sayı olduğu için cevap negatiftir)

NEGATİF SAYILARIN ÜSLERİNDE PARANTEZİN ÖNEMİ

Negatif bir sayının üssü alınırken en çok karşımıza çıkan veya çıkacak sorun da parantezdir. Şimdi parantez içindeki ve parantez olmadan iki sayının üssünü bir örnekle inceleyelim.

−2⁴ ve (−2)⁴ arasındaki farkı görelim

−2⁴ demek 2’yi 4 kere çarp başına (−) koy ile aynı şeydir. −2⁴ = − 2.2.2.2 = −16

(−2)⁴ ise −2’yi 4 kere çarp demektir. (−2)⁴ = (−2).(−2).(−2).(−2) = +16

Görüldüğü gibi ilki −16’ya ikincisi +16’ya eşittir. Buna dikkat etmeliyiz.

−1’İN KUVVETLERİ

−1’in tek kuvvetleri −1, çift kuvvetleri +1’dir.

(−1)¹⁴⁵³ = −1

(−1)²⁰¹⁶ = +1

BİR SAYININ SIFIRINCI KUVVETİ

Sıfırdan farklı bir sayının sıfırıncı üssü 1’e eşittir.

2⁰ = 1

(−5)⁰ = 1

SIFIR ÜSSÜ SIFIR (SIFIRIN SIFIRINCI KUVVETİ)

Sıfır üzeri sıfır belirsizdir. Değeri belirli değildir.

0⁰ belirsizdir.

10’UN KUVVETLERİ

10⁰ = 1

10¹ = 10

10² = 100

10³ = 1000

…

Yukarıda da görüldüğü gibi 10’un üzerindeki doğal sayı kaç ise 1’in yanına o kadar 0 koyarız.

10²⁵ = 1000….000 (1’in yanına 25 tane 0 yazarız)